Consigne: Montrer que si \(n\in{\Bbb N}^*\) est fixé et si \(\displaystyle\lim_{N\to+\infty}\frac{M(N)}{N}=p\in[0,1]\) fixée, alors $$\forall k\in\{0,\ldots,n\},\qquad\lim_{N\to+\infty}\frac{\binom{M(n)}k\binom{N-M(N)}{n-k} }{\binom Nn}=\binom nk p^k(1-p)^{n-k}$$ autrement dit : $$\lim_{N\to+\infty}P(X_N=k)=P(Y=k)$$ si \(X_N\sim\mathcal{Hypergéom}(N,M(N),n)\) pour chaque \(N\) et \(Y\sim\mathcal{Bin}(n,p)\)
(théorème de convergence des hypergéométriques vers les binomiales)

Gros développement
$$P(X_N=k)={\cfrac{\color{yellow} M(N)!}{\color{red} k!\color{yellow} (M(N)-k)!}\times\cfrac{\color{blue}(N-M(N))!}{\color{red}(n-k)!\color{blue}(N-M(N)-(n-k))!}\over\cfrac{\color{silver} N!}{\color{red} n!\color{silver}(N-m)!}}$$

Réunification
$$=\color{red}\frac{n!}{k!(n-k)!}\color{yellow}\prod^{k-1}_{j=0}(M(N)-j)\color{blue}\prod^{n-k-1}_{i=0}(N-M(N)-i)\color{silver}\frac1{\prod^{n-1}_{l=0}(N-l)}$$

Réorganisation + passage à la limite

$$\begin{align}&=\color{red}\binom nk\color{yellow}\underbrace{\prod^{k-1}_{j=0}\frac{(M(N)-j)}{\color{silver}(N-j)}}_{k\text{ termes qui tendent vers }p}\color{blue}\underbrace{\prod^{n-k-1}_{i=0}\frac{(N-M(N)-i)}{\color{silver} (N-k-i)}}_{n-k\text{ termes qui tendent vers }1-p}\\ &{\underset{n\to+\infty}\longrightarrow}\color{red}\binom nk\color{yellow} p^k\color{blue}(1-p)^{n-k}\end{align}$$